Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx-4经过A（-3，0），B（2，0）两点，与y轴的交点为C，连接AC、BC，D为线段AB上的动点，DE∥BC交AC于E，A关于DE的对称点为F，连接DF、EF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）EF与抛物线交于点G，且EG：FG=3：2，求点D的坐标；
（3）设△DEF与△AOC重叠部分的面积为S，BD=t，在每种情况下详细求出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A（-3，0）和B（2，0）代入y=ax²+bx-4中即可求出a、b的值；
（2）利用勾股定理求出AC的长度，可知AC=AB，从而证明AB∥EF，设点G的坐标为（a，$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4），所以E的纵坐标为$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4，求出AC的解析式后，即可得出E的坐标为（-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a，$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4），由EG：FG=3：2可知EG=$\frac{3}{5}$EF，由此列出方程可得a的值，从而可求出D的坐标；
（3）要求△DEF与△AOC重叠部分的面积为S，根据题意分析可知，共有三种情况，过点D作DI⊥EF于点I，①点F在y轴的左侧时，此时重合的部分为△DEF；②当DI在y轴的左侧且点F在y轴的右侧时，此时重合的部分为DF、DE、EF和y轴围成的四边形；③当DI在y轴的右侧时，此时重合的部分为DE、ED和y轴围成的三角形．

解答 解：（1）将A（-3，0）和B（2，0）代入y=ax²+bx-4，$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b-4=0}\\{4a+2b-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-4；

（2）令x=0代入y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-4，
∴y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∵OA=3，
∴由勾股定理可求得：AC=5，
∵OB=2，
∴AB=OA+OB=5，
∴∠ACB=∠ABC，
∵A与F关于DE对称，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠FED，
∴AB∥EF，
设点G的坐标为（a，$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4），
∴E的纵坐标为$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，0）和C（0，-4）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x-4，
把y=$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4代入y=-$\frac{4}{3}$x-4，
∴x=-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a，
∴E的坐标为（-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a，$\frac{2}{3}$a²+$\frac{2}{3}$a-4），
∴EG=a-（-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a）=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a，
过点E作EH⊥x轴于点H，如图2，
∴sin∠EAH=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{HE}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$HE=$\frac{5}{4}$（4-$\frac{2}{3}$a²-$\frac{2}{3}$a），
∴AE=EF=$\frac{5}{4}$（4-$\frac{2}{3}$a²-$\frac{2}{3}$a），
∵EG：FG=3：2，
∴EG=$\frac{3}{5}$EF，
∴$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a=$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{4}$（4-$\frac{2}{3}$a²-$\frac{2}{3}$a），∴解得a=-3或a=1，
当a=-3时，此时G与A重合，
∴a=-3不合题意，舍去，
当a=1时，
∴AD=AE=$\frac{5}{4}$（4-$\frac{2}{3}$a²-$\frac{2}{3}$a）=$\frac{10}{3}$，
∴D的坐标为（$\frac{1}{3}$，0）；
（3）如图2，当 $\frac{25}{8}$≤t＜5时，
此时△DEF与△AOC重叠部分为△DEF，
∵BD=t，
∴AD=AB-BD=5-t，
∴AE=AD=5-t，
过点E作EH⊥x轴于点H，
由（2）可知：sin∠EAH=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{EH}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴EH=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$AD•EH=$\frac{2}{5}$（5-t）²，
如图3，当2≤t＜$\frac{25}{8}$时，
过点D左DI⊥EF于点I，
设EF与y轴交于点M，DF与y轴交于点N，
此时△DEF与△AOC重叠部分为四边形EMND，
∵AE=AD=5-t，
∴CE=AC-AE=t，
∵EF∥AB，
△CEM∽△CAO，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{ME}{OA}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{EM}{3}$．
∴EM=$\frac{3}{5}$t，
∵AE=EF，
∴MF=EF-EM=5-$\frac{8}{5}$t，
∵∠CAB=∠EFD，
∴tan∠EFD=tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{NM}{MF}$=$\frac{4}{3}$，
∴MN=$\frac{4}{3}$（5-$\frac{8}{5}$t），
∵DI=EH=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$DI•EF-$\frac{1}{2}$MF•MN
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$（5-t）²-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$（5-$\frac{8}{5}$t）²=-$\frac{98}{75}$t²+$\frac{20}{3}$t-$\frac{20}{3}$，
如图4，当0＜t＜2时，
设DE与y轴交于点M，EF与y轴交于点N，
此时△DEF与△AOC重叠部分为△EMN，
∵AE=5-t，
∴CE=t，
∵EF∥AB，
∴△CEN∽△CAO，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{EN}{OA}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{EN}{3}$，
∴EN=$\frac{3}{5}$t，
∵∠MEN=∠ADE=∠ABC，
∴tan∠MEN=tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=2，
∴$\frac{MN}{EN}$=2，
∴MN=2EN=$\frac{6}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$EN•MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{6}{5}$t=$\frac{9}{25}$t²．
综上所述，当0＜t＜2时，S=$\frac{9}{25}$t²；当2≤t＜$\frac{25}{8}$时，S=-$\frac{98}{75}$t²+$\frac{20}{3}$t-$\frac{20}{3}$；当 $\frac{25}{8}$≤t＜5时，S=$\frac{2}{5}$（5-t）²．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识，内容较为综合，考查学生分类讨论的思想和灵活运用知识的能力．