Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB向终点B运动，点P在AC上的速度为每秒2个单位长度，在CB上的速度为每秒1个单位长度，同时，点Q从点A出发，沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达终点时，点P也随之停止．过点P作PM⊥AD于点M，连接QM，以PM、QM为邻边作PMQN，设PMQN与矩形ABCD重叠部分图形的周长为d（长度单位），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）

（1）求AC的长
（2）用含t的代数式表示线段CP的长．
（3）当点P在线段AC上时，求d与t之间的函数关系式．
（4）经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，若该直线同时将PMQN的面积分成1：3的两部分，直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=4，∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC= = =5，

∴AC的长为5．

（2）解：当点P在线段AC上，CP=5﹣2t，

当点P在线段CB上，CP=t﹣ ．

（3）解：如图1中，当N在BC上时．

∵AP=2t，AQ=t，

∴AQ=PQ，

∵PM⊥AD，

∴∠AMP=90°，

∴QM= AP=t，

由△APM∽△ACD，可得 = ，

∴ = ，

∴PM= t，

由△CNQ∽△CBA，可得 = ，

∴ = ，

解得t= ，

当0＜t≤ 时，如图2中，重叠部分是四边形PMQN，

d=2（t+ ）= t，

当 ＜t≤ ，如图3中，重叠部分是五边形EFPMQ．

d= t﹣（1+ ）（ ﹣3）+ （ t﹣3）=2t﹣4．

（4）解：∵经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，

∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．

①如图4中，当直线ON经过PM的中点时，直线ON将PMQN的面积分成1：3的两部分，

此时：由OQ：OP=NQ：PE=2：1，可得（ ﹣t）：（2t﹣ ）=2：1，解得t= ．

②如图5中，当直线ON经过QM的中点时，直线ON将PMQN的面积分成1：3的两部分，

此时：由OQ：OP=NQ：PE=1：2，可得（ ﹣t）：（2t﹣ ）=1：2，解得t= ．

③如图6中，当点P在BC上，PM经过点O时，直线ON将PMQN的面积分成1：3的两部分，易知t= s．

综上所述，满足条件的t的值为t= s或 s或 s时．

【解析】（1）利用勾股定理可解决；（2）须分类讨论，当点P在线段AC上，CP=5﹣2t，或点P在线段CB上，CP=t-；（3）先求分类的分界点：当N在BC上时求出t=,然后分类讨论：0＜t,重叠的为四边形，当<t<时，重叠部分为五边形，分别用t的代数式表示d；（4）平分矩形面积的这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O，分类讨论，利用相似三角形的性质可求出t值．
．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．