Question

探究问题
（1）方法感悟：
一班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
方案（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；感悟解题方法，并完成下列填空：
解：在如图所示的两个三角形△DEC和△ABC中：DC=AC，∠______=∠______（对顶角相等），EC=BC，∴△DEC≌△ABC______，∴DE=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．
（2）方法迁移：
方案（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．请你说明理由．　
（3）问题拓展：
方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是______；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？______．

Answer 1

解：（1）在如图所示的两个三角形△DEC和△ABC中：DC=AC，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），EC=BC，∴△DEC≌△ABC （SAS），∴DE=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．

（2）∵AB⊥BF，ED⊥FB，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB=ED；

（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用AAS证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．
分析：（1）根据题目中的条件，再加上对顶角∠ACB=∠DCE，可以利用SAS证明△DEC≌△ABC，进而得到ED=AB；
（2）根据垂直可得∠ABC=∠EDC=90°，再加上对顶角∠BCA=∠DCE，BC=CD可以利用AAS证明△ABC≌△EDC，再根据全等三角形的性质可得AB=ED；
（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是得∠ABC=∠EDC=90°，如果得∠ABC=∠EDC≠90°，仍可以证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．
点评：此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等是证明线段相等的一种重要方法．