Question

如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G．
（1）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=，求AG与GM的比．

Answer 1

解：（1）ME=MG成立，理由如下：
如图，连接EO，并延长交⊙O于N，连接BC；
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，即AC=DE，∠N=∠B；
∵ME是⊙O的切线，
∴∠MEG=∠N=∠B，
又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．

（2）由相交弦定理得：DF²=AF•FB=3×=4，即DF=2；
故DE=AC=2DF=4；
∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴，即，
解得AG=，GC=AC-AG=；
设ME=MG=x，则MC=x-，MA=x+，
由切割线定理得：ME²=MC•MA，即x²=（x-）（x+），
解得MG=x=；
∴AG：MG=：=10：3，即AG与GM的比为．
分析：（1）连接OE，并延长EO交⊙O于N，连接DN；由于ME是⊙O的切线，则∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易证得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若证ME=MG，关键就是证得∠N=∠B；可从题干入手：点D是弧ABC的中点，则弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可证得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根据等角对等边即可得证．
（2）根据相交弦定理可求得DF、EF的长，即可得到DE、AC的长，易证得△AFG∽△ACB，根据所得比例线段即可求得AG、GC的长，再由（1）证得ME=MG，可用MG分别表示出MA、MC的长，进而根据切割线定理求出MG的长，有了AG、MG的值，那么它们的比例关系就不难求出．
点评：此题是一道圆的综合题，涉及到：切线的性质、圆周角定理、相交弦定理、弦切角定理、切割线定理等重要知识点，综合性强，难度较大，能够发现AC、DE的等量关系是解答此题的关键所在．