Question

阅读理解：
如图1，点C将线段AB分成两部分，若

AC

AB

=

BC

AC

，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． 

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：（1）根据黄金分割的定义得

AD

AB

=

BD

AD

，再根据三角形面积公式得到

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，所以

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，然后根据黄金直线的定义得直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）根据三角形中线的性质和三角形面积公式得到

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

=1，而

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

＜1，由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）根据两平行线之间的距离定值，得到S_△FDE=S_△FDC，S_△DEC=S_△FEC，则S_△AEF=S_△ADC，S_{四边形BEFC}=S_△BDC，然后由

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

得到

S△AEF

S△ABC

=

S四边形BEFC

S△AEF

，则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线．

解答：解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵点D是AB的黄金分割点，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∵

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

=1，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）∵DF∥CE，
∴S_△FDE=S_△FDC，S_△DEC=S_△FEC，
∴S_△AEF=S_△ADC，S_{四边形BEFC}=S_△BDC，
∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四边形BEFC

S△AEF

，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．