Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（-1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（-1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（-1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（-1）^{2}+b×（-1）+c=0}\\{a×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
即此抛物线的解析式是y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，-4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），
当PA=PD时，
$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-y）^{2}}$=$\sqrt{（1-1）^{2}+（-4-y）^{2}}$，
解得，y=-$\frac{3}{2}$，
即点P的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$）；
当DA=DP时，
$\sqrt{（-1-1）^{2}+[0-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{（1-1）^{2}+（-4-y）^{2}}$，
解得，y=-4±$2\sqrt{5}$，
即点P的坐标为（1，-4-2$\sqrt{5}$）或（1，-4+$2\sqrt{5}$）；
当AD=AP时，
$\sqrt{（-1-1）^{2}+[0-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-y）^{2}}$，
解得，y=±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，-4），
当点P为（1，-4）时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$）或（1，-4-2$\sqrt{5}$）或（1，-4+$2\sqrt{5}$）或（1，4）．

点评 本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．