【题目】如图,将一个三角板放在边长为1的正方形上,并使它的直角顶点在对角线上滑动,直角的一边始终经过点,另一边与射线相交于点.
(1)当点在边上时,过点作分别交,于点,,证明:;
(2)当点在线段的延长线上时,设、两点间的距离为,的长为.
①直接写出与之间的函数关系,并写出函数自变量的取值范围;
②能否为等腰三角形?如果能,直接写出相应的值;如果不能,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)①.②能为等腰三角形,.
【解析】
(1)根据正方形的性质证明,即可求解;
(2)①根据题意作图,由正方形的性质可知当时,点在线段的延长线上,同理可得,得到MP=NQ,利用等腰直角三角形的性质可知MP=x,NC=CD-DN=1-x,CQ=y,代入MP=NQ化简即可求解;
②由是等腰三角形,∠PCQ=135°,CP=CQ成立,代入解方程即可求解 ,
(1)证明:∵在正方形中,为对角线,
∴,,∵,
∴,,
∴,
又∵,
∴.
∵,∴.
又∵,∴,
∴,
在中,
∵
∴,∴.
(2)①如图,点在线段的延长线上,
同(1)可证,
∴MP=NQ,
在等腰直角三角形AMP中,AP==x
∴MP=x=AM,
∴NC=BM=AB-AM=1-x
故NQ=NC+CQ=1-x+y
∴x=1-x+y
化简得
当P点位于AC中点时,Q点恰好在C点,又AP<AC=
∴
∴与之间的函数关系是()
②当时,能为等腰三角形,
理由:当点在的延长线上,CQ=,CQ=AC-AP=,
由是等腰三角形,∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=45°+90°=135°,
∴CP=CQ成立,
即时,解得.
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【题目】如图,把一个木制正方体的表面涂上颜色,然后将正方形分割成27个大小相同的小正方体,从这些小正方体中任意取出一个,求取出的小正方体;
(1)只有一面涂有颜色的概率;
(2)至少有两面涂有颜色的概率;
(3)各个面都没有颜色的概率.
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【题目】为了响应市委和市政府“绿色环保,节能减排”的号召,幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只,很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价(元/只) | 售价(元/只) | |
甲种节能灯 | 30 | 40 |
甲种节能灯 | 35 | 50 |
(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只?
(2)全部售完100只节能灯后,商场共计获利多少元?
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【题目】数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
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【题目】暑假期间,两位家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社.经协商,甲旅行社的优惠条件是:两位家长全额收费,学生都按7折收费;乙旅行社的优惠条件是:学生、家长都按8折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅行,甲、乙旅行社的收费分别为y甲,y乙,
(1)写出y甲,y乙与x的函数关系式.
(2)学生人数在什么情况下,选择哪个旅行社合算?
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【题目】如图,已知,,求的度数.
(1)填空,在空白处填上结果或者理由.
解:过点作,(如图)
得___________°, ( )
又因为,(已知)
所以___________°.
因为,
所以, ( )
又因为,(已知)
所以___________°,
所以___________°.
(2)请用另一种解法求的度数.
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【题目】某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑,当小明出发时,朱老师已经距起点200米了,他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整).根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)在上述变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;
(2)朱老师的速度为 米/秒;小明的速度为 米/秒;
(3)小明与朱老师相遇 次,相遇时距起点的距离分别为 米.
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【题目】当行驶中的汽车撞到物体时,汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量.汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示,下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据:
v(km/min) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
I | 0 | 2 | 8 | 18 | 32 |
(1)请根据上表中的数据,在直角坐标系中描出坐标(v,I)所对应的点,并用光滑曲线将各点连接起来;
(2)填写下表,并根据表中数据的呈现规律,猜想用v表示I的二次函数表达式;
v(km/min) | 1 | 2 | 3 | 4 |
(3)当汽车的速度分别是1.5 km/min,2.5 km/min,4.5 km/min时,利用你得到的撞击影响公式,计算撞击影响分别是多少?
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【题目】如图,MN∥OP,点A为直线MN上一定点,B为直线OP上的动点,在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D,使得AD⊥BD.设∠DAB=α(α为锐角).
(1)求∠NAD与∠PBD的和;(提示过点D作EF∥MN)
(2)当点B在直线OP上运动时,试说明∠OBD﹣∠NAD=90°;
(3)当点B在直线OP上运动的过程中,若AD平分∠NAB,AB也恰好平分∠OBD,请求出此时α的值
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