Question

已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：∠AFB=90°；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）由BA=BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF⊥AC，即可证得∠AFB=90°；
（2）易证DC∥AB，又由BA=BC，根据等边对等角，证得∠ECA=∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC；
（3）首先设DE交AC于点H，由△ADC≌△AEC，即可得AD=AE，∠DAH=∠EAH，根据等腰三角形的三线合一，则可证得BH⊥DE，则可得∠AFB=∠AHE，又由同位角相等，两直线平行，证得DE∥BF．

解答：（1）证明：∵BA=BC，F是AC的中点（已知），
∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分）
∴∠AFB=90°（垂直的定义）．（1分）

（2）证明：∵AE⊥BC（已知），
∴∠AEC=90°（垂直的定义）．
∵∠ADC=90°（已知），
∴∠ADC=∠AEC（等量代换）．（1分）
∵DC∥AB（已知），
∴∠DCA=∠CAB（两直线平行，内错角相等）．
∵BA=BC（已知），
∴∠ECA=∠CAB（等边对等角）．
∴∠DCA=∠ECA（等量代换）．（1分）
在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC(已证) ∠DCA=∠ECA(已证) AC=AC(公共边)

∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）

（3）DE与BF平行．（1分）
证明：设DE交AC于点H，
∵△ADC≌△AEC（已证），
∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分）
∴BH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分）
∴∠AHE=90°（垂直的定义）
∵∠AFB=90°（已证），
∴∠AFB=∠AHE（等量代换）．（1分）
∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．