Question

10．已知a-b=2，a²-ab-c²+2c=0，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a≠0）图象上，且满足x₂-x₁=8，$\frac{1}{{y}_{2}}$-$\frac{1}{{y}_{1}}$＞2，求整数c的值．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到x₁=$\frac{a}{{y}_{1}}$，x₂=$\frac{a}{{y}_{2}}$，则$\frac{a}{{y}_{1}}$-$\frac{a}{{y}_{2}}$=8，而$\frac{1}{{y}_{2}}$-$\frac{1}{{y}_{1}}$＞2，所以0＜a＜4，再把a-b=2代入a²-ab-c²+2c=0得到2a-c²+2c=0，则a=$\frac{{c}^{2}-2c}{2}$，所以0＜$\frac{c（c-2）}{2}$＜4，然后利用c的取值范围确定满足条件的整数．

解答 解：∵点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a≠0）图象上，
∴y₁=$\frac{a}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{a}{{x}_{2}}$，
∴x₁=$\frac{a}{{y}_{1}}$，x₂=$\frac{a}{{y}_{2}}$，
∵x₂-x₁=8，
∴$\frac{a}{{y}_{1}}$-$\frac{a}{{y}_{2}}$=8，
而$\frac{1}{{y}_{2}}$-$\frac{1}{{y}_{1}}$＞2，
∴$\frac{8}{a}$＞2，
∴0＜a＜4，
∵a-b=2，a²-ab-c²+2c=0，
∴2a-c²+2c=0，则a=$\frac{{c}^{2}-2c}{2}$，
∴0＜$\frac{c（c-2）}{2}$＜4，即0＜c（c-2）＜8，
当c＜0时，c=-1；
当c＞2时，c=3，
∴整数c的值的值为-1或3．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解决本题的关键是代数式的变形能力和解不等式组．