Question

26、已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB=OC．
（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB=AC；

（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．

Answer 1

分析：（1）可由HL证得Rt△OBE≌Rt△OCF，从而得到∠B=∠C?AB=BC；
（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，也可由HL证得Rt△OBE≌Rt△OCF，得到∠EBO=∠FCO，由等边对等角得到∠OBC=∠OCB，故有∠ABC=∠ACB?AB=AC；
（3）通过作图，可知AB=AC不一定成立．

解答：解：（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）成立．
过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，
则∠BEO=∠CFO=90°，
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）不一定成立，如右图．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．利用全等三角形的性质求线段相等时证明线段相等的最常用方法之一，要熟练掌握．