Question

5．已知抛物线y=mx²+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当$\frac{1}{4}$＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出△=（1-2m）²-4×m×（1-3m）=（1-4m）²＞0，得出1-4m≠0，解不等式即可；
（2）y=m（x²-2x-3）+x+1，故只要x²-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；
（3）由|AB|=|x_A-x_B|得出|AB|=|$\frac{1}{m}$-4|，由已知条件得出$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{m}$＜4，得出0＜|$\frac{1}{m}$-4|≤$\frac{31}{8}$，因此|AB|最大时，|$\frac{1}{m}-4$|=$\frac{31}{8}$，解方程得出m=8，或m=$\frac{8}{63}$（舍去），即可得出结果．

解答 （1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y=mx²+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B，
∴△=（1-2m）²-4×m×（1-3m）=（1-4m）²＞0，
∴1-4m≠0，
∴m≠$\frac{1}{4}$，
∴m的取值范围为m≠0且m≠$\frac{1}{4}$；
（2）证明：∵抛物线y=mx²+（1-2m）x+1-3m，
∴y=m（x²-2x-3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x²-2x-3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=-1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|x_A-x_B|=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{（1-2m）^{2}-4m（1-3m）}}{|m|}$=$\sqrt{\frac{1-4m+4{m}^{2}-4m+12{m}^{2}}{{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（1-4m）^{2}}{{m}^{2}}}$=|$\frac{1-4m}{m}$|=|$\frac{1}{m}$-4|，
∵$\frac{1}{4}$＜m≤8，
∴$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{m}$＜4，
∴-$\frac{31}{8}$≤$\frac{1}{m}$-4＜0，
∴0＜|$\frac{1}{m}$-4|≤$\frac{31}{8}$，
∴|AB|最大时，|$\frac{1}{m}-4$|=$\frac{31}{8}$，
解得：m=8，或m=$\frac{8}{63}$（舍去），
∴当m=8时，|AB|有最大值$\frac{31}{8}$，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：$\frac{1}{2}$|AB|y_P=$\frac{1}{2}$×$\frac{31}{8}$×4=$\frac{31}{4}$．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键．