Question

在△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=6，AB=3.5，则CD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：计算题,几何图形问题

分析：在BC上截取BE=AB，然后利用“边角边”证明△ABD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=DE，全等三角形对应角相等可得∠BED=∠A，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，过点C作CF∥AB交BD的延长线于F，求出∠F=∠CBD，再根据等角对等边可得BC=CF，然后利用△ABD和△CDF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：如图，在BC上截取BE=AB，则CE=BC-BE=6-3.5=2.5，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBD中，

AB=BE ∠ABD=∠CBD AD=AD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD=DE，∠BED=∠A，
∵∠BAC=2∠C，∠BED=∠C+∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE=2.5，
∴AD=DE=2.5，
过点C作CF∥AB交BD的延长线于F，
则∠F=∠BD，
∴∠F=∠CBD，
∴BC=CF=6，
由CF∥AB得，△ABD∽△CDF，
∴

CF

AB

=

CD

AD

，
即

6

3.5

=

CD

2.5

，
解得CD=

30

7

．
故答案为：

30

7

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出辅助线构造成全等三角形和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．