Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

(1)求证：△APQ∽△CDQ；

(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当t＝5时，DP⊥AC，理由见解析

【解析】

（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；

（2）首先证明△ADQ∽△ACD，根据相似三角形的性质可得，然后计算出AC长，进而可得AQ长，再证明△AQP∽△ABC，可得，则，再解即可得到t的值．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：当t=5时，DP⊥AC；

∵∠ADC=90°，DP⊥AC，

∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，

∵∠DAQ=∠CAD，

∴△ADQ∽△ACD，

∴，

AC=，

则AQ=，

∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，

∴△AQP∽△ABC，

∴，

则，

解得：t=5，

即当t=5时，DP⊥AC．