Question

【题目】如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP．

（1）求证：∠APB＝∠BPH；

（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积；

（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（3）；（3）△PHD的周长不变为定值12，见解析.

【解析】

（1）欲证明∠APB=∠BPH，只要证明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根据EP=EB，推出∠EBP=∠EPB即可证明．

（2）如图1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想办法求出EB、CF即可解决问题．

（3）△PHD的周长不变为定值12．如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH，分别证明△BPA≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．

（1）∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，∴∠APB=∠BPH．

（2）如图1中，作FM⊥AB于M．

∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，∴∠ABP=∠EFM．

在△ABP和△MFE中，∵，∴△ABP≌△MFE，∴ME=APAD=3．在Rt△AEP中，设AE=x，则EP=BE=6﹣x，∴（6﹣x）2=x2+32，∴x，∴CF=BM=AB﹣AE﹣EM，∴S四边形EFGP（CF+BE）×BC（）×6．

（3）△PHD的周长不变为定值12．证明如下：

如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH．

由（1）可知∠APB=∠BPQ．在△BPA和△BPQ中，∵，∴△BPA≌△BPQ，∴AP=PQ，AB=BQ．

∵AB=BC，∴BC=BQ．

∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，∴△BHQ≌△BHC，∴CH=QH，∴△PDH的周长=DP+PH+DH=（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．