Question

16．如图，抛物线l：y=-x²+bx+c（b，c为常数），其顶点E在正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1）．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）若l经过点B，C，求l的解析式；
（3）设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；
当顶点E在正方形ABCD内或边上时，直接写出线段MN的取值范围；
（4）若l经过正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得D点的坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据顶点横坐标纵坐标越大，与x轴交点的线段越长，根据顶点横坐标纵坐标越小，与x轴交点的线段越短，可得答案；
（4）根据待定系数法，可得c的值，要分类讨论，以防遗漏．

解答 解：（1）由正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1），得
D点的横坐标等于C点的横坐标，即D点的横坐标为2，
D点的纵坐标等于A点的纵坐标，即D点的纵坐标为2，
D点的坐标为（2，2）；
（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{1=-1+b+c}\\{1=-4+2b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-1}\end{array}\right.$
所以二次函数的解析式为y=-x²+3x-1；
（3）由此时顶点E的坐标为（2，2），得
抛物线解析式为y=-（x-2）²+2
把y=0代入得-（x-2）²+2=0
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
即N（2+$\sqrt{2}$，0），M（2-$\sqrt{2}$，0），
所以MN=2+$\sqrt{2}$-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
点E的坐标为B（1，1），得
抛物线解析式为y=-（x-1）²+1
把y=0代入得-（x-1）²+1=0
解得x₁=0，x₂=2，
即N（2，0），M（0，0），
所以MN=2-0=2．
点E在线段AD上时，MN最大，
点E在线段BC上时，MN最小；
当顶点E在正方形ABCD内或边上时，2≤MN≤2$\sqrt{2}$； 
（4）当l经过点B，C时，二次函数的解析式为y=-x²+3x-1，
c=-1；
当l经过点A、D时，E点不在正方形ABCD内或边上，故排除；
当l经过点B、D时，$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=1}\\{-4+2b+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-2}\end{array}\right.$，即c=-2；
当l经过点A、C时，$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=2}\\{-4+2b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，即c=1；
综上所述：l经过正方形ABCD的两个顶点，所有符合条件的c的值为-1，1，-2．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用正方形的性质求顶点坐标是解题关键；利用顶点横坐标纵坐标越大，与x轴交点的线段越长得出顶点为D时MN最长，顶点为B时 MN最短是解题关键．