Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），一条直线y=ax+b，它们的系数之间满足如下关系：a＞b＞c．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设抛物线与直线的两个交点为A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为A₁、B₁．令k=

c

a

，试问：是否存在实数k，使线段A₁B₁的长为4

2

．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）考查了判别式与函数交点坐标的关系，要注意△=b²-4ac，当△＞0时，有两个交点，当△=0时，有一个交点，当△＜0时，没有交点；
（2）此题考查了根与系数的关系，要注意此线段的长即是两个交点坐标的横坐标的差，用根与系数的关系表示出，变形即可求得．

解答：解：（1）根据题意得：a+b+c=0
ax+b=ax²+bx+c
∵a＞b＞c
∴a+b＞0，a＞0，c＜0，
∴ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴ax²+（b-a）x-a-b-b=0，
∴△=（b-a）²-4a（-a-2b）=（a+b）²+4a（a+b）＞0，
∴抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）不存在
设点A，B的横坐标分别为x₁，x₂，
∵ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴x₁+x₂=

a-b

a

，x₁•x₂=

c-b

a

，
根据题意得：A₁B₁=|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( a-b a )2- 4(c-b) a

=4

2

∴(

c

a

)2-

4c

a

=32，
∴k²-4k-32=0，
∴k=8或k=-4，
∵a＞0，c＜0
∴k=-4，
∵当k=-4时，

c

a

=-4得到C=-4a，又a+b+c=0，

即a+b-4a=0 所以b=3a

∵a＞0，
∴b＞a，

∵a＞b＞c，
∴k=-4不符题意舍去，
∴不存在符合题意的k值．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，要注意方程判别式的应用，以及根与系数的关系；
这是中考中的难点，要注意认真分析．