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(2013•峨眉山市二模)已知,如图,抛物线的顶点为C(1,-2),直线y=kx+m与抛物线交于A、B两点,其中OA=3,B点在y轴上.点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E.
(1)求直线AB的解析式;
(2)设点P的横坐标为x,求点E坐标(用含x的代数式表示);
(3)点D是直线AB与这条抛物线对称轴的交点,是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在请说明理由.
分析:(1)首先设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,由A点坐标为(3,0),则可将A点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式,当x=0时求出点C的坐标,设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A、B的坐标代入解析式,求出k,b的值即可得出AB的解析式;
(2)根据点横坐标为x,且PE⊥x轴,可得E点横坐标为x,又知E点在抛物线上,代入x即可得出E点坐标;
(3)分别从当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP两种情况去分析,注意利用相似三角形的对应边成比例等性质,即可求得答案,注意不要漏解.
解答:解:(1)解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,
∵A(3,0)在抛物线上,
∴0=a(3-1)2-2
∴a=
1
2

∴y=
1
2
(x-1)2-2,
当x=0时,y=-
3
2

∴B(0,-
3
2
),
∴设直线AB的解析式为y=kx+b,
把点A、B的坐标代入解析式得:
3k+b=0
b=-
3
2

解得:
k=
1
2
b=-
3
2

∴直线AB的解析式为y=
1
2
x-
3
2
; 

(2)∵P为线段AB上的一个动点,PE⊥x轴,且P点横坐标为x,
∴E点横坐标为x,
∵E在抛物线上,
∴E点坐标为(x,
1
2
(x-1)2-2);

(3)D点在抛物线y=
1
2
(x-1)2-2的对称轴上,横坐标为1,
又∵D点直线AB上,
∴D的坐标为:D(1,-1),
①当∠DEP=90°时,如图,△AOB∽△EDP,
AB
OB
=
PE
DP

过点D作DQ⊥PE于Q,
∴xQ=xP=x,yQ=-1,
∴△DQP∽△AOB∽△EDP,
DP
DQ
=
AB
OA

又OA=3,OB=
3
2
,AB=
3
5
2

又DQ=x-1,
∴DP=
5
2
(x-1),
3
5
2
3
2
=
-
1
2
x2+
3
2
x
5
2
(x-1)
=,
解得:x=-1±
6
(负值舍去).
∴P(
6
-1,
6
-4
2
)(如图中的P1点);
②当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP,
OA
OB
=
DE
PE

由(2)PE=-
1
2
x2+
3
2
x,DE=x-1,
3
2
3
=
-
1
2
x2+
3
2
x
5
2
(x-1)

解得:x=1±
2
,(负值舍去).
∴P(1+
2
2
2
-1)(如图中的P2点);
综上所述,P点坐标为(1+
2
2
2
-1)或(
6
-1,
6
-4
2
).
点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是方程思想,分类讨论思想与数形结合思想的应用.
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