Question

【题目】如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是 上的一动点（不与A、B重合），点F是 上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论： ① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+ ．
其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：①如图所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE与△COF中，

，

∴△BOE≌△COF，

∴BE=CF，

∴ = ，①正确；②∵BE=CF，

∴△BOG≌△COH；

∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，

∴∠GOH=90°，OG=OH，

∴△OGH是等腰直角三角形，②正确．③如图所示，

∵△HOM≌△GON，

∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；④∵△BOG≌△COH，

∴BG=CH，

∴BG+BH=BC=4，

设BG=x，则BH=4﹣x，

则GH= = ，

∴其最小值为4+2 ，D错误．

所以答案是：①②．