Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x₁=0时，对应的y₁＞0；x₂=1时，对应的y₂＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；
（Ⅲ）抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax²+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax²+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
解答：解：（Ⅰ）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（，0）；
（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x²+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤．（3分）
①当时，由方程3x²+2x+=0，解得x₁=x₂=-．
此时抛物线为y=3x²+2x+与x轴只有一个公共点（-，0）；（4分）
②当时，x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有即，
解得-5＜c≤-1．
综上，或-5＜c≤-1．（6分）
（Ⅲ）对于二次函数y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0时，y₁=c＞0；
x₂=1时，y₂=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=-a-c，
∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．（7分）
∵关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）
又该抛物线的对称轴，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴．
又由已知x₁=0时，y₁＞0；
x₂=1时，y₂＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）
点评：借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．