Question

【题目】如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，矩形AEFG中AE=4，∠AFE=30°。将矩形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到矩形AMNH（如图2），此时BD与MN相交于点O.

（1）求∠DOM的度数；

（2）图2中，求D、N两点间的距离；

（3）若将矩形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到矩形APQR，此时点B在矩形APQR的内部、外部还是边上？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）；（3）点B在矩形APQR的内部.

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数；

（2）首先连接AM，交BD于I，连接AN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案；

（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置．

试题解析：（1）依题意得：∠BAM=15°，

设MN与AB交于K，

∵四边形AMNH是矩形，

∴∠M=90°，

∴∠AKM=90°-∠BAM=75°.

∴∠BKO=∠AKM=75°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°.

∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°.

（2）连接AN，交BD于I，连接DN

∵AE=4，∠AFE=30°，∠AEF=90°，

∴AN=AF=2AE=8.

由旋转得：∠DAH=15°，

∴∠DAN=45°.

∵正方形ABCD中，∠DAC=45°.

∴A、C、N共线.

∵正方形ABCD中，BD⊥AC，AD=AB=，

∴DI=AI=.

∴NI=AN-AI=8-3=5.

∴Rt△DIN中， .

（3）点B在矩形APQR的内部，理由如下：

如图，

依题意得：∠BAP=15°+15°=30°，

∵∠P=90°，

∴AK=2PK.

∵AP=4，AP2+PK2=AK2，

解得： ，

∵AB=，

∴点B在矩形APQR的内部.