Question

15．已知x₁，x₂是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根，求：
（1）（x₁+x₂）²
 （2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；
（3）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=1，再利用完全平方公式和通过把原式变形得到结果．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴（1）（x₁+x₂）²=4²=16；
 （2）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=4；
（3）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16-4=12．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了代数式的变形能力．