Question

如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD即可求解．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴

AB

=

AD

=

DC

，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+

3

2

BC=15，
解得：BC=6
故此圆的半径为3．

（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=

3 3

2

S_△AOD=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

．
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=

60π×32

360

-

9 3

4

=

3π

2

-

9 3

4

=

6π-9 3

4

．

点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．