Question

5．如图，已知点P是⊙O外一点，PB切⊙O于点B，BA 垂直OP于C，交⊙O于点A，连接PA、AO，延长AO，交⊙O于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAO=$\frac{2}{3}$，且OC=4，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）证明△PAO≌△PBO，根据全等三角形的对应角相等证得∠PAO=∠PBO，则∠PBO=90°，根据切线的判定定理证得；
（2）在Rt△ACO中，利用勾股定理求得OA的长，然后根据△ACO∽△PAO，利用相似三角形的对应边的比相等求解．

解答 解：（1）证明：连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）∵tan∠CAO=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12
在Rt△ACO中，AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
显然△ACO∽△PAO，
∴$\frac{OA}{CO}$=$\frac{PA}{AC}$，即$\frac{2\sqrt{13}}{4}$=$\frac{PA}{6}$，
∴PA=3$\sqrt{13}$，
∴PB=PA=3$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意到△ACO∽△PAO是关键．