Question

如图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点．如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点．如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6．
（1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为

 

；
（2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，求点P的坐标；
（3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式．

Answer 1

分析：（1）画出点A、D坐标，根据四边形ABCD是矩形可得点P在CD的中点处，写出相应坐标即可；
（2）易得点P的横坐标为6，利用△PAD∽△PBC可得点P的纵坐标；
（3）可分点P在直线AD的上方，或下方两种情况进行探讨：当点P在直线AD的上方时，点P在线段BA的延长线上，利用点A的坐标可得相关代数式；当点P在直线AD的下方时，利用（2）中的相似可得相关代数式．

解答：解：（1）
由图中可以看出P（6，2）．
故答案为（6，2）；
（2）
依题意可得∠D=∠BCD=90°，∠PAD=∠PBC，AD=4，CD=4，BC=6．
∴△PAD∽△PBC，
∴

PD

PC

=

AD

BC

=

4

6

，
∵PD+PC=CD=4，
∴PC=

12

5

．
∴点P的坐标为(6，

12

5

)；

（3）根据题意可知，不存在点P在直线AD上的情况；
当点P不在直线AD上时，分两种情况讨论：
①当点P在直线AD的上方时，点P在线段BA的延长线上，此时有y=2x；
②当点P在直线AD的下方时，过点P作MN⊥x轴，分别交直线AD、BC于M、N两点，
与（2）同理可得△PAM∽△PBN，PM+PN=4，
由点P的坐标为P（x，y），可知M、N两点的坐标分别为M（x，4）、N（x，0）．

∴

PM

PN

=

AM

BN

．
可得

4-y

y

=

x-2

x

．
∴y=

2x

x-1

．
综上所述，当x＞2，y＞0时，y与x之间的关系式为y=2x或y=

2x

x-1

．

点评：主要考查了相似三角形的应用；易错点在于分情况探讨等角点的位置；难点在于利用相似三角形的判定与性质得到点P的纵坐标．