Question

等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为

 

．

Answer 1

分析：先求出等边三角形BC边上的高为3

3

，设OG的长度为y，则AG的长度为3

3

-y，根据时间等于路程除以速度，设电子虫在y轴上的速度为2v，则在GC上的速度为v，列出时间表达式，再根据不等式当且仅当

3 3 -y

2v

=

y2+32

2v

时取最小值，求出y值，点G坐标可得．

解答：解：根据题意，AO=6sin60°=3

3

，
如图，设OG长度为y，则AG=3

3

-y，
在Rt△OCG中，CG=

y2+32

，
设电子虫在y轴上的速度为2v，则在GC上的速度为v，
所以电子虫走完全程的时间为t=

3 3 -y

2v

+

y2+32

v

，
∵电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，
∴当且仅当

3 3 -y

2v

=

y2+32

2v

时，t有最小值，
即3

3

-y=2

y2+32

，
整理得，y²-2

3

y+3=0，
解得y=

3

．
所以点G的坐标为（0，-

3

）．
故答案为：（0，-

3

）．

点评：本题考查了等边三角形高的求法以及勾股定理的运用，利用不等式求最值是解题的关键．