Question

4．如图1，E为边长为1的正方形ABCD中CD边上的一动点（不含点C、D），以BE为边作图中所示的正方形BEFG
（1）求∠ADF的度数
（2）如图2，若BF交AD于点H，连接EH，求证：HB平分∠AHE
（3）如图3，连接AE、CG，作BM⊥AE于点M，BM交GC于点N，连接DN．当E在CD上运动时，求DN长度的变化范围．

Answer 1

分析 （1）先利用同角的余角相等得出∠EFG=∠BEC，从而判断出△BCE≌△EGF，即可EG=BC=CD，进而得出△FDG为等腰直角三角形即可；
（2）同（1）的方法判断出△ABH≌△CBM，△BEH≌△BEM，进而得出∠AHB=∠BHE即可；
（3）同（1）方法判断出△CPB≌△BMA，△BQG≌△EMB，进而得出CP=GQ=BM，又得出△CPN≌△GQN，得出NC=NG，最后根据点E的运动情况判断出点E和C重合时，DN最小，用勾股定理求解即可，点E和点D重合时，DN最大，用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）如图1，

过点F作FG⊥DG交CD的延长线于G，
∴∠EFG+∠FEG=90°，
∵∠FEG+∠BEC=90°，
∴∠EFG=∠BEC，
在△BCE和△EGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠EGF}\\{∠BEC=∠FEG}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△EGF，
∴BC=EG
∴EG=BC=CD
∴DG=CE=FG
∴△FDG为等腰直角三角形
∴∠FDA=45°
（2）如图2，

延长EC至M，且使CM=AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAH=∠BCM=90°，
在△ABH和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCM}\\{AH=CM}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴∠AHB=∠CMB，BH=BM，
∵BE是正方形BEFG的对角线，
∴∠EBH=45°，
∴∠ABH+∠CBE=45°，
∴∠EBM=∠CBM+∠CBE=45°，
∴∠EBH=∠MBE，
在△BEH和△BEM中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=BM}\\{∠EBH=∠EBM}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△BEH≌△BEM（SAS）
∴∠BHE=∠BME，
∵∠AHB=∠CMB，
∴∠AHB=∠BHE，
∴HB平分∠AHE；

（3）如图3，

过点C作CP⊥BM于P，过点G作GQ⊥BM于Q，
∵∠ABM+∠CBM=90°，∠BCP+∠CBM=90°
∴∠ABM=∠BCP，
在△CPB和△BMA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AMB=90°}\\{∠BCP=∠ABM}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CPB≌△BMA，
∴CP=BM，
同理：△BQG≌△EMB，
∴GQ=BM，
∴CP=GQ=BM
在△CPN和△GQN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNP=∠GNQ}\\{∠CPN=∠GQN=90°}\\{CP=GQ}\end{array}\right.$
∴△CPN≌△GQN（AAS）
∴NC=NG，
当点E和C重合时，点G和点A重合，点P和点B重合，DN最小，DN_最小=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当点E和点D重合时，点M和点A重合，点G，A，D在同一条直线上，DN最大，点N是边AB的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理得，DN最大=$\sqrt{A{D}^{2}+A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜DN＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的性质和判定，统计的余角相等，动点问题，解本题的关键是判断出三角形全等，难点是判断点和点C，点D重合时，DN分别达到最大值．