Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；
（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：本题是一次函数，二次函数的综合题，充分利用两者之间图象的联系，解析式中待定系数的个数，先求一次函数解析式，再求二次函数解析式，根据题目的要求，对二次函数进行运用．在坐标系中求图形面积，可以充分利用图形的各顶点坐标的数值，确定图形的底、高，可把图形分割成几个规则图形的和或者差．

解答：解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1上，
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直线AC的解析式为y=x+1．
∵点A在x轴上，
∴A（-1，0）．
∵抛物线y=-x²+bx+c过点A、C，
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

解得

b=2 c=3

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．
∴E（1，2）．
根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E．
设直线l的解析式为y=mx+n．
将B、E的坐标代入y=mx+n中，
联立可得m=-1，n=3．
∴直线l的解析式为y=-x+3．
∴P（0，3）．
过点E作ED⊥x轴于点D．
∴S_△PAE=S_△PAB-S_△EAB=

1

2

AB•PO-

1

2

AB•ED=

1

2

×4×（3-2）=2．

（3）存在，点F的坐标分别为（3-

2

，0），（3+

2

，0），（-1-

6

，0）（-1+

6

，0）．

点评：本题考查点的坐标的求法及一次函数，二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．