Question

9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交底边BC于D．
（1）求证：BD=CD；
（2）若AB=3，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，在腰AC上取一点E使AE=$\frac{8}{3}$，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角角定理，由AB为直径得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质可得BD=CD；
（2）连结OD，如图，在Rt△ABD中，先利用余弦定义计算出BD=$\frac{1}{3}$AB=1，则Cd=1，再利用勾股定理计算出AD=2$\sqrt{2}$，则有$\frac{AD}{AC}$$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，加上∠DAE=∠CAD，于是可判断△ADE∽△ACD，所以∠AED=∠ADC=90°，接着证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，所以OD⊥DE，则根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×3=1，
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=1，
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{8}{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AC}$，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC=90°，
∴DE⊥AC，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．