Question

如图，⊙O的直径AB=8，C为圆周上一点，AC=4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E． 
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．

Answer 1

分析：（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形．

解答：（1）解：在△AOC中，AC=4，
∵AO=OC=4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；

（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴OC∥BD． 
∴∠ABD=∠AOC=60°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°．  
∴∠EAB=∠AEC．
∴CE∥OB，又∵CO∥EB
∴四边形OBEC 为平行四边形．  
又∵OB=OC=4．
∴四边形OBEC是菱形．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．