Question

16．如图，BA₁和CA₁分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA₂是∠A₁BD的角平分线，CA₂是∠A₁CD的角平分线，BA₃是∠A₂BD的角平分线，CA₃是∠A₂CD的角平分线，若∠A₁=α，则∠A₂₀₁₃为$\frac{α}{{2}^{2012}}$．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$，根据此规律即可得解．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A₁=α，
同理理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2}$α，
则∠A₂₀₁₃=$\frac{α}{{2}^{2012}}$．
故答案为：$\frac{α}{{2}^{2012}}$．

点评 本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．