Question

如图，已知：△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴正半轴相交于点E，点B的坐标是(－1，0)，P点是AC上的动点(P点与A，C两点不重合)．

(1)写出点A，点E的坐标．

(2)若抛物线y＝－x²＋bx＋c过A，E两点，求抛物线的解析式．

(3)连结PB，PD．设l为△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值，并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)点的坐标是，点的坐标是． 　　(2)抛物线过两点， 　　得：，． 　　抛物线的解析式是：． 　　(3)过点作，垂足为点，并延长至点，使得， 　　则点关于的对称点为点．连结，则，． 　　再连结交于点，连结，则． 　　当点运动到与点重合，即三点共线时，依“两点之间，线段最短”．这时的周长有最小值． 　　又过点作轴，垂足为点． 　　是等边三角形，， 　　，， 　　，． 　　，即点的坐标为． 　　． 　　在中，． 　　周长． 　　设线段的解析式，点的坐标为，点的坐标为，得： 　　，． 　　线段的解析式：． 　　同理可得线段的解析式：． 　　与的交点是方程组的解，得． 　　则此时点的坐标是． 　　此时点的坐标在上述(2)小题所求的抛物线上． 　　理由如下： 　　把，代入中，左边＝右边． 　　故此时点的坐标在上述 　　(2)小题所求的抛物线上．