Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点D为AB中点，点O为AC上一点，以O为圆心，半径为1cm的圆与AB相切，点E为切点．
（1）求线段AO的长；
（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O?C?B?A的路径运动，设移动的时间为t（s），则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，易得∠A的正弦值，进而可在Rt△AOE中，根据OE的长求得OA的值．
（2）当⊙P与CD相切时，一共有四个时间点：
①当P在线段AC上与CD相切时，过P作CD的垂线，设垂足为G，由于D是AB中点，易知∠DCA=∠A，因此根据∠A的正弦值即可得PC的值，进而可求得OP的长，即可得t的值；
②当P在线段BC上且与CD相切时，解法同①；
③当P在线段BD上与CD相切时，过P作CD的垂线，设垂足为M；那么关键是求出PD的长，过P作PQ⊥CD于Q，易得△ABC的面积，由于D是AB中点，则△BCD的面积是△ABC面积的一半，那么可根据△BCD的面积来求得BQ的长，进而根据△PDM∽△BDQ来得到DP的长，从而求得BP+BC+OC的值，即可得t的值；
④当P在线段AD上与CD相切时，解法同③．

解答：解：（1）Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5cm；
则sin∠A=

3

5

；
由于BA切⊙O于E，则∠OEA=90°；
在Rt△OEA中，AO=OE÷sin∠A=

5

3

cm．

（2）如图；
①当P位于线段OC上时，设⊙P与CD的切点为G，则P₁G⊥CD；
由于D是AB的中点，所以CD=DA，即∠DCA=∠A，
因此P₁C=OA=

5

3

cm，OP₁=AC-2OA=

2

3

cm，
∴t=

2

3

s；
②当P位于线段CB上时，设⊙P与CD的切点为H，则P₂H⊥CD；
同①可得：P₂C=

5

4

cm，因此P点运动的距离为：
OC+P₂C=

7

3

+

5

4

=

43

12

cm，即t=

43

12

s；
③当P位于线段BD上时，P₃M⊥CD，过B作BQ⊥CN于Q；
易知：S_△ABC=6cm²，由于D是AB中点，则S_△BCD=3cm²；
而CD=

1

2

AB=

5

2

cm，可求得CD边上的高为：BQ=

12

5

cm；
易知：△PDM∽△BDQ，则

P3M

BQ

=

P3D

BD

，即

1

12 5

=

P3D

5 2

，P₃D=

25

24

cm；
因此P₃B+BC+OC=

163

24

cm，即t=

163

24

s；
④当P位于线段AD上时，同③可求得t=

213

24

s；
综上可知：当t分别为

2

3

s、

43

12

s、

163

24

s、

213

24

s时，⊙P与直线CD相切．

点评：此题主要考查的知识点是切线的性质，还涉及到解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，综合性强，要注意（2）题中分类讨论思想的运用，不要漏解．