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如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,点D为AB中点,点O为AC上一点,以O精英家教网为圆心,半径为1cm的圆与AB相切,点E为切点.
(1)求线段AO的长;
(2)若将⊙O以1cm/s的速度移动,移动中的圆心记为P,点P沿O?C?B?A的路径运动,设移动的时间为t(s),则当t为何值时,⊙P与直线CD相切?
分析:(1)在Rt△ABC中,易得∠A的正弦值,进而可在Rt△AOE中,根据OE的长求得OA的值.
(2)当⊙P与CD相切时,一共有四个时间点:
①当P在线段AC上与CD相切时,过P作CD的垂线,设垂足为G,由于D是AB中点,易知∠DCA=∠A,因此根据∠A的正弦值即可得PC的值,进而可求得OP的长,即可得t的值;
②当P在线段BC上且与CD相切时,解法同①;
③当P在线段BD上与CD相切时,过P作CD的垂线,设垂足为M;那么关键是求出PD的长,过P作PQ⊥CD于Q,易得△ABC的面积,由于D是AB中点,则△BCD的面积是△ABC面积的一半,那么可根据△BCD的面积来求得BQ的长,进而根据△PDM∽△BDQ来得到DP的长,从而求得BP+BC+OC的值,即可得t的值;
④当P在线段AD上与CD相切时,解法同③.
解答:精英家教网解:(1)Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=5cm;
则sin∠A=
3
5

由于BA切⊙O于E,则∠OEA=90°;
在Rt△OEA中,AO=OE÷sin∠A=
5
3
cm.

(2)如图;
①当P位于线段OC上时,设⊙P与CD的切点为G,则P1G⊥CD;
由于D是AB的中点,所以CD=DA,即∠DCA=∠A,
因此P1C=OA=
5
3
cm,OP1=AC-2OA=
2
3
cm,
∴t=
2
3
s;
②当P位于线段CB上时,设⊙P与CD的切点为H,则P2H⊥CD;
同①可得:P2C=
5
4
cm,因此P点运动的距离为:
OC+P2C=
7
3
+
5
4
=
43
12
cm,即t=
43
12
s;
③当P位于线段BD上时,P3M⊥CD,过B作BQ⊥CN于Q;
易知:S△ABC=6cm2,由于D是AB中点,则S△BCD=3cm2
而CD=
1
2
AB=
5
2
cm,可求得CD边上的高为:BQ=
12
5
cm;
易知:△PDM∽△BDQ,则
P3M
BQ
=
P3D
BD
,即
1
12
5
=
P3D
5
2
,P3D=
25
24
cm;
因此P3B+BC+OC=
163
24
cm,即t=
163
24
s;
④当P位于线段AD上时,同③可求得t=
213
24
s;
综上可知:当t分别为
2
3
s、
43
12
s、
163
24
s、
213
24
s时,⊙P与直线CD相切.
点评:此题主要考查的知识点是切线的性质,还涉及到解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识,综合性强,要注意(2)题中分类讨论思想的运用,不要漏解.
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