Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）若⊙P与x轴有公共点，则k的取值范围是

 

．
（2）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）当⊙P与直线l相切时，k的值为

 

．

Answer 1

分析：（1）P点在y轴的负半轴，且半径为3，由此可求k的取值范围；
（2）由勾股定理求PA，根据PA=PB列方程求k的值，判断⊙P与x轴的位置关系；
（3）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，根据△ABP的面积公式，利用面积法表示PQ，当⊙P与直线l相切时，PQ=3，列方程求k即可．

解答：解：（1）依题意，得k的取值范围是-3≤k＜0；

（2）由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=

16+k2

，
∵PB=8+k，
由PA=PB，得

16+k2

=8+k，
解得k=-3，
∴⊙P与x轴相切；

（3）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，
由PQ×AB=PB×OA，
PQ=

(k+8)×4

42+82

，
当⊙P与直线l相切时，PQ=3，即

(k+8)×4

42+82

=3，
解得k=3

5

-8
当p在B下方时，k=-8-3

5

．
故答案为：-3≤k＜0，3

5

-8或-8-3

5

．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是由已知直线求A、B两点坐标，根据P点的坐标，由线段相等，面积法分别列方程求解．