Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若周长为16的等腰△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）先计算判别式的值得△=1，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法解方程得到x₁=k，x₂=k+1，不妨设AB=k，AC=k+1，则根据三角形周长得到BC=15-2k，然后分类讨论：当AB=BC，即k=15-2k；当AC=BC，即k+1=15-2k，再解关于k的一元一次方程即可．

解答：（1）证明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）
=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵原方程化为（x-k）（x-k-1）=0，
∴x₁=k，x₂=k+1，
不妨设AB=k，AC=k+1，
∴BC=16-AB-AC=15-2k，
当AB=BC，即k=15-2k，解得k=5；
当AC=BC，即k+1=15-2k，即得k=

14

3

，
∴k的值为5或

14

3

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质．