Question

抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-3；a＜b＜c
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．
①在第一象限内，这条抛物线上有一点P，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△APC与S_△AOC的大小．
②在x轴的上方，这条抛物线上是否存在点Pn，使得S_△APnC=S_△AOC？若存在，请求出点Pn的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了四个条件：abc=0 ①；a+b+c=3②；ab+bc+ca=-3③；a＜b＜c④．
根据①可知b=0或c=0（a≠0），那么本题可分两种情况进行讨论：
一：当b=0，可联立②③，求出a，c的值，然后根据④判断出符合条件的a，c的值，进而可求出抛物线的解析式．
二：当c=0时，方法同一．
综合两种情况可得出抛物线的解析式．
（2）①比较S_△APC和S_△AOC的大小实际就是比较△DPC和△AOD的面积．
△AOD中，根据OA，OD的长，可求出△AOD的面积．
△DPC中，可以CD为底边，P点的纵坐标为高，
过P作PG⊥x轴于G，OG就是△DPC的高．
可根据相似三角形ADO和APG，得出关于OD，PG，OA，OG的比例关系式．
设出P点的坐标，即可根据所得的比例关系式求出P点的坐标，从而可求出△DPC的面积．
然后比较△DPC和△AOD的面积即可得出S_△APC和S_△AOC的大小．
②本题要分两种情况进行讨论：
当P点在第一象限时，解法同①，只不过要设出P点的坐标和OD的长，其他解法基本一样，只是最后不是比较大小，而是得出一个等量关系．根据这个等量关系来求P点的坐标．
可分别过C，A作坐标轴的平行线，可得出一个矩形，设两条平行线的交点为Q，那么△AQC与△AOC的面积相等，而P在△ACQ内，因此△ACP的面积总小于△ACQ的面积．因此△ACP的面积不会和△ACO的面积相等．此种情况不成立．

解答：解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
当b=0时：
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+c=3 ac=-4

，
解得

a1=-1 c1=4

．
或

a2=4 c2=-1

∵a＜b＜c．
∴

a2=4 c2=-1

（不合题意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4
＜2＞当c=0时
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+b=3 ab=-4

解之得

a1=4 b1=-1

．
或

a2=-1 b2=4

，
∵a＜b＜c；
∴

a1=4 b1=-1

和

a2=-1 b2=4

，都不合题意，舍去．
∴所求的抛物线解析式为y=-x²+4．

（2）①在y=-x²+4中，当y=0时，x=±2；当x=0时，y=4．
∴A、B、C三点的坐标分别为（-2，0），（2，0），（0，4）
过P作PG⊥x轴于G，

设点P坐标为（m，n）
∵点P是这条抛物线上第一象限内的点
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2
∵OD∥PG，OD=1.5
∴

OA

AG

=

OD

PG

即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

解得m₁=

5

4

，m₂=-2（不合题意，舍去）
∴OG=

5

4

又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S_△PDC=

1

2

•CD•OG=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

S_△AOD=

1

2

•OA•OD=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

=

24

16

∴S_△PDC＞S_△AOD
又∵S_△APC=S_△PDC+S_△ADC，S_△AOC=S_△AOD+S_△ADC
∴S_△APC＞S_△AOC
②分两种情况讨论：
在第一象限内，设在抛物线上存在点Pn（m，n），使得S_△APnC=S_△AOC．
过Pn作PnM⊥x轴于点M，

则m＞0，n＞0，n=-m²+4
OM=m，PnM=-m²+4，OA=2，AM=m+2
设APn交y轴于点Dn，设ODn=t
∵ODn∥PnM，
∴

OA

AM

=

ODn

PnM

即

2

m+2

=

t

-m2+4

化简为mt+2t=8-2m²，DnC=OC-ODn=4-t
S_△AODn=

1

2

OA•ODn=

1

2

×2×t=t；
S_△PnCDn=

1

2

CDn•OM=

1

2

（4-t）×m；
∵S_△AOC=S_△APnC
∴S_△AODn=S_△PnCDn
即t=

1

2

（4-t）×m，mt+2t=4m
将mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m²中有8-2m²=4m
整理得m²+2m-4=0，m₁=

5

-1，m₂=-1-

5

∵m＞0，
∴m₂=-1-

5

（不合题意，舍去）
∴m=

5

-1，
此时n=-m²+4=-（

5

-1）²+4=2

5

-2
∴存在点Pn坐标为（

5

-1，2

5

-2），
使得S_△APnC=S_△AOC在第二象限内，这条抛物线上任取一点Pnn，连接PnnA，PnnC，分别过点A作直线l₁垂直x轴，过点C作直线l₂垂直于y轴，l₁与l₂相交于Q点，则四边形QAOC是矩形，S_△AQC=S_△AOC．

设Pnn点坐标为（mn，nn）
则有-2＜mn＜0
∵nn=-m_n²+4
∴0＜nn＜4
∴点Pn_n在矩形QAOC内，又易知Pnn在△AQC内
∴S_△APnC＜S_△AQC，S_△APnC＜S_△AOC
∴在第二象限内这条抛物线上不存在点Pnn，使S_△APnC=S_△AOC．

点评：本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的综合应用，由于题中的数据较多，计算过程较复杂，因此细心求解是解题的关键．