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抛物线的解析式y=ax2+bx+c满足如下四个条件:abc=0;a+b+c=3;ab+bc+ca=-3;a<b<c
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B的左边),与y轴的交点为C.
①在第一象限内,这条抛物线上有一点P,AP交y轴于点D,当OD=1.5时,试比较S△APC与S△AOC的大小.
②在x轴的上方,这条抛物线上是否存在点Pn,使得S△APnC=S△AOC?若存在,请求出点Pn的坐标;若不存在,请说明理由.
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分析:(1)已知了四个条件:abc=0 ①;a+b+c=3②;ab+bc+ca=-3③;a<b<c④.
根据①可知b=0或c=0(a≠0),那么本题可分两种情况进行讨论:
一:当b=0,可联立②③,求出a,c的值,然后根据④判断出符合条件的a,c的值,进而可求出抛物线的解析式.
二:当c=0时,方法同一.
综合两种情况可得出抛物线的解析式.
(2)①比较S△APC和S△AOC的大小实际就是比较△DPC和△AOD的面积.
△AOD中,根据OA,OD的长,可求出△AOD的面积.
△DPC中,可以CD为底边,P点的纵坐标为高,
过P作PG⊥x轴于G,OG就是△DPC的高.
可根据相似三角形ADO和APG,得出关于OD,PG,OA,OG的比例关系式.
设出P点的坐标,即可根据所得的比例关系式求出P点的坐标,从而可求出△DPC的面积.
然后比较△DPC和△AOD的面积即可得出S△APC和S△AOC的大小.
②本题要分两种情况进行讨论:
当P点在第一象限时,解法同①,只不过要设出P点的坐标和OD的长,其他解法基本一样,只是最后不是比较大小,而是得出一个等量关系.根据这个等量关系来求P点的坐标.
可分别过C,A作坐标轴的平行线,可得出一个矩形,设两条平行线的交点为Q,那么△AQC与△AOC的面积相等,而P在△ACQ内,因此△ACP的面积总小于△ACQ的面积.因此△ACP的面积不会和△ACO的面积相等.此种情况不成立.
解答:解:(1)∵a≠0,abc=0,
∴bc=0
当b=0时:
a+b+c=3
ab+ac+bc=-4

a+c=3
ac=-4

解得
a1=-1
c1=4

a2=4
c2=-1

∵a<b<c.
a2=4
c2=-1
(不合题意,舍去)
∴a=-1,b=0,c=4
<2>当c=0时
a+b+c=3
ab+ac+bc=-4

a+b=3
ab=-4

解之得
a1=4
b1=-1

a2=-1
b2=4

∵a<b<c;
a1=4
b1=-1
a2=-1
b2=4
,都不合题意,舍去.
∴所求的抛物线解析式为y=-x2+4.

(2)①在y=-x2+4中,当y=0时,x=±2;当x=0时,y=4.
∴A、B、C三点的坐标分别为(-2,0),(2,0),(0,4)
过P作PG⊥x轴于G,
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设点P坐标为(m,n)
∵点P是这条抛物线上第一象限内的点
∴m>0,n>0,n=-m2+4
∴PG=-m2+4,OA=2,AG=m+2
∵OD∥PG,OD=1.5
OA
AG
=
OD
PG

2
2+m
=
1.5
-m2+4

解得m1=
5
4
,m2=-2(不合题意,舍去)
∴OG=
5
4

又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S△PDC=
1
2
•CD•OG=
1
2
×
5
2
×
5
4
=
25
16

S△AOD=
1
2
•OA•OD=
1
2
×
3
2
×2=
3
2
=
24
16

∴S△PDC>S△AOD
又∵S△APC=S△PDC+S△ADC,S△AOC=S△AOD+S△ADC
∴S△APC>S△AOC
②分两种情况讨论:
在第一象限内,设在抛物线上存在点Pn(m,n),使得S△APnC=S△AOC
过Pn作PnM⊥x轴于点M,
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则m>0,n>0,n=-m2+4
OM=m,PnM=-m2+4,OA=2,AM=m+2
设APn交y轴于点Dn,设ODn=t
∵ODn∥PnM,
OA
AM
=
ODn
PnM

2
m+2
=
t
-m2+4

化简为mt+2t=8-2m2,DnC=OC-ODn=4-t
S△AODn=
1
2
OA•ODn=
1
2
×2×t=t;
S△PnCDn=
1
2
CDn•OM=
1
2
(4-t)×m;
∵S△AOC=S△APnC
∴S△AODn=S△PnCDn
即t=
1
2
(4-t)×m,mt+2t=4m
将mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m2中有8-2m2=4m
整理得m2+2m-4=0,m1=
5
-1,m2=-1-
5

∵m>0,
∴m2=-1-
5
(不合题意,舍去)
∴m=
5
-1,
此时n=-m2+4=-(
5
-1)2+4=2
5
-2
∴存在点Pn坐标为(
5
-1,2
5
-2),
使得S△APnC=S△AOC在第二象限内,这条抛物线上任取一点Pnn,连接PnnA,PnnC,分别过点A作直线l1垂直x轴,过点C作直线l2垂直于y轴,l1与l2相交于Q点,则四边形QAOC是矩形,S△AQC=S△AOC
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设Pnn点坐标为(mn,nn)
则有-2<mn<0
∵nn=-mn2+4
∴0<nn<4
∴点Pnn在矩形QAOC内,又易知Pnn在△AQC内
∴S△APnC<S△AQC,S△APnC<S△AOC
∴在第二象限内这条抛物线上不存在点Pnn,使S△APnC=S△AOC
点评:本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的综合应用,由于题中的数据较多,计算过程较复杂,因此细心求解是解题的关键.
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1
4
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3
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3
2
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