Question

8．如图，已知抛物线y=-x²+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12）的一部分，记作G₁，且D（3，m）、E（12，m-3），将抛物线y=-x²+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G₂．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设抛物线y=-x²+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为2$\sqrt{13}$；
（3）点（6，n）为G₁与G₂的交点坐标，求a的值．
（4）在移动过程中，若G₁与G₂有两个交点，设G₂的对称轴分别交线段DE和G₁于M、N两点，若MN＜$\frac{2}{3}$，直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把D（3，m）、E（12，m-3）代入y=$\frac{k}{x}$得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；
（2）先解方程-x²+9=0得到B（-3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；
（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=-（x-a）²+9得a的值；
（4）分别把D点和E点坐标代入y=-（x-a）²+9得a的值，则利用图象和G₁与G₂有两个交点可得到3+$\sqrt{5}$≤a≤12-2$\sqrt{2}$，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+5，则M（a，-$\frac{1}{3}$a+5），N（a，$\frac{12}{a}$），于是利用MN＜$\frac{2}{3}$得到-$\frac{1}{3}$a+5-$\frac{12}{a}$＜$\frac{2}{3}$，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）把D（3，m）、E（12，m-3）代入y=$\frac{k}{x}$得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{k}{3}}\\{m-3=\frac{k}{12}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{k=12}\end{array}\right.$，
所以双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$；

（2）当y=0时，-x²+9=0，解得x₁=-3，x₂=3，则B（-3，0），
而D（3，4），
所以BE=$\sqrt{（3+3）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故答案为2$\sqrt{13}$；

（3）把（6，n）代入y=$\frac{12}{x}$得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），
抛物线G₂的解析式为y=-（x-a）²+9，
把（6，2）代入y=-（x-a）²+9得-（6-a）²+9=2，解得a=6±$\sqrt{7}$，
即a的值为6±$\sqrt{7}$；

（4）抛物线G₂的解析式为y=-（x-a）²+9，
把D（3，4）代入y=-（x-a）²+9得-（3-a）²+9=4，解得a=3-$\sqrt{5}$或a=3+$\sqrt{5}$；
把E（12，1）代入y=-（x-a）²+9得-（12-a）²+9=1，解得a=12-2$\sqrt{2}$或a=12+2$\sqrt{2}$；
∵G₁与G₂有两个交点，
∴3+$\sqrt{5}$≤a≤12-2$\sqrt{2}$，
设直线DE的解析式为y=px+q，
把D（3，4），E（12，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3p+q=4}\\{12p+q=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{1}{3}}\\{q=5}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+5，
∵G₂的对称轴分别交线段DE和G₁于M、N两点，
∴M（a，-$\frac{1}{3}$a+5），N（a，$\frac{12}{a}$），
∵MN＜$\frac{2}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$a+5-$\frac{12}{a}$＜$\frac{2}{3}$，
整理得a²-13a+36＞0，即（a-4）（a-9）＞0，
∴a＜4或a＞9，
∴a的取值范围为9＜a≤12-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解二次函数的图象变换和坐标与图形性质．