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    把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO = 2OB，且∠OAB =∠BAC．

    （1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；

    （2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；

    （3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

     


    解：（1）过点C作CD⊥x轴于D．

    ∵A（0，4），  AO=2BO

    ∴OB=2

    ∴B(2，0)        …………  1分

    ∵∠ABC=∠AOB=90°

    ∠OAB=∠BAC

     ∴△ABC∽△AOB

    ∴

    ∴

    ∵∠OBA+∠CBD=90°

    ∠OBA+∠OAB=90°

    ∴∠OAB=∠CBD

    ∵∠CDB=∠AOB=90°

    ∴△AOB∽△BDC

    ∴

    ∴BD=2， DC=1

    ∴C（4，1）          ………… 2分

    ∵抛物线过点A（0，4）

    ∴设抛物线解析式为：y = ax2+bx+4        …………  3分

    又∵抛物线过B（2，0），C（4，1）

    ∴   4a+2b+4=0

    16a+4b+4=1

    解得：a = 

    ∴抛物线解析式为：y =x2-x+4       …………  4分

    (2)抛物线的对称轴为：直线x =-  …………  5分

    作A关于直线x =的对称点A′，则A′（，4）………6分

    作M关于x轴的对称点M′，则M′（0，-2）  …………  7分

    连接A′M′交x轴于点E，交直线x =于点F

    则此时点P经过的路线最短，        

    由对称性得：ME+FE+FA= A′M′…………  8分

    又∵A′M′=

    ∵直线A′M′解析式为：y =

    ∴E（，0），   F（，1）      …………  9分

    (3)①若QB=QC时，Q1(2，)     …………  10分

    ②若QC=BC时，Q2()       …………  11分

    ③若QB=BC时，Q3()…………  12分

    【相关知识点】相似三角形的判定、二次函数、轴对称的性质、二元一次方程组、等腰三角形的判定

    【解题思路】(1)根据相似三角形的性质求点的坐标.(2)根据所求点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式.（3）利用轴对称的性质先把点M、A分别转移到x轴、对称轴的两侧，再利用两点之间线段最短确定出点E和F的位置及最短路线长.(4)由等腰三角形的性质结合相似得出Q点坐标.

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    如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：精英家教网
    （1）按要求填表：
    n 1 2 3
    xn
    （2）第n个正方形的边长xn=
     
    ；
    （3）若m，n，p，q是正整数，且xm•xn=xp•xq，试判断m，n，p，q的关系．

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    精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…，其他正方形依次放入．则第六个正方形的边长x6为
     
    ．

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    精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…，其他正方形依次放入．则第三个正方形的边长x3为
     
    ，第n个正方形的边长xn=
     
    （n为正整数）．

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    （2013•盐城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，把边长分别为x1，x2，x3…xn的n个正方形依次放入△ABC中，则x5的值为（　　）

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    一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
    如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点．
    （1）如图1，若把三角板的直角顶点放置于点O，两直角边分别与AB、BC交于点M、N，求证：BM=CN；
    （2）若点P是线段AC上一动点，在射线BC上找一点D，使PD=PB，再过点D作BO的平行线，交直线AC于一点E，试在备用图上探索线段ED和OP的关系，并说明理由．

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