Question

1．如图，AB是圆O的直径．CD是圆O的一条弦．且CD⊥AB于点E．
（1）若∠A=48°，求∠OCE的大小；
（2）若CD=4$\sqrt{3}$．AE=2，求$\widehat{BD}$的长．

Answer 1

分析 （1）首先求出∠ADE的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数，最后求出∠OCE的度数；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA-AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值，根据弧长的公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，
∴∠ADE=42°．
∴∠AOC=2∠ADE=84°，
∴∠OCE=90°-84°=6°；
（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²，
设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，所以r²=（2$\sqrt{2}$）²+（r-2）²，
解得：r=3．
∴圆O的半径为3，
连接OD，
∴∠BOD=2∠A=96°，
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{96•π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{12}{5}$π．

点评 本题考查了弧长的计算，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．