Question

如图，△OAB的底边与⊙O相切，切点为C，且OA=OB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点，D、E分别为OA、OB的中点．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，由AB与圆O相切，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，得到OC为角平分线，再由D、E分别为OA、OB的中点，得到OD=AD=OE=EB，即OC为OA的一半，OC为OB的一半，可得出∠A=∠B=30°，即可求出∠AOB=120°；
（2）设OC=r，可得出OA=2r，利用勾股定理表示出AC，进而确定出AB的长，由三角形OAB的面积-扇形DOE的面积表示出阴影部分面积，分别利用三角形及扇形的面积公式，以及已知阴影部分的面积列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆O的半径r．
解答：解：（1）连接OC，
∵AB与圆O相切，
∴OC⊥AB，
∵D、E分别为OA、OB的中点，
∴AD=OD=OE=EB，
在Rt△AOC中，OC=OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=120°；

（2）设圆O的半径为r，可得OA=OB=2r，
在Rt△AOC中，利用勾股定理得：AC=r，
∴AB=2AC=2r，
则S_阴影=S_△AOB-S_扇形DOE=×2r•r-=r²-=-，
∴r²=1，即r=1，
则圆O的半径为1．
点评：此题考查了切线的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，以及扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．