Question

19、如图所示，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．分别将“∠BAC=∠ABD”记为①，“AC=BD”记为②，“OE⊥AB”记为③，要求同学从这三个等式中选出两个作为条件，一个作为结论．（在横线上填上序号）
（1）写出一个真命题：如果

∠BAC=∠ABD，OE⊥AB

，那么

AC=BD

．并证明这个真命题
（2）写出一个真命题：如果

AC=BD，∠BAC=∠ABD

，那么

OE⊥AB

．

Answer 1

分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故（1）可选如果∠BAC=∠ABD，OE⊥AB，那么AC=BD．由已知可证∠OAC=∠OBD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，根据三角形全等的判定定理ASA证得△AOC≌△BOD，即证AC=BD．
故（2）可选如果AC=BD，∠BAC=∠ABD，那么OE⊥AB．由已知AC=BD，∠BAC=∠ABD，且AB=BA，
根据三角形全等的判定定理SAS可证△ABC≌△BAD，得到∠ABC=∠BAD，即△AOB是等腰三角形，又已知点E是AB的中点，故OE⊥AB．

解答：解：（1）如果∠BAC=∠ABD，OE⊥AB，那么AC=BD．
证明：∵点E是AB的中点，且OE⊥AB，
∴AE=BE，OA=OB，∠OAB=∠OBA，
又∵∠BAC=∠ABD，
∴∠OAC=∠OBD，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．

（2）如果AC=BD，∠BAC=∠ABD，那么OE⊥AB．
证明：∵AC=BD，∠BAC=∠ABD，且AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
又∵点E是AB的中点，
∴OE⊥AB．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．