Question

【题目】如图，已知是半圆的直径，圆心为为半圆上的两个动点，且，过点C作的切线，交的延长线于点于点F．

（1）四边形的形状是______________________．

（2）连接，若，则当 时四边形为平行四边形；若四边形为菱形，四边形的面积是，求直径的长．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）k＝1，

【解析】

（1）依据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行证明即可得到结论；

（2）先假设四边形AOCE为平行四边形，可证明四边形AOCE是菱形得AO=EC，再证明Rt△AOF≌Rt△ECD得DE=AF，从而可证DE=EF，进而可得结论；解Rt△EDC得，根据矩形OCDF的面积是可求得，从而可得结论.

（1）∵CD是的切线，

∴OC⊥CD，∠OCD=90°，

∵

∴F为AE的中点，∠OFE=90°,

∵

∴∠OFE+∠COF=90°，

∠COF=90°

∴四边形是矩形.

故答案为：矩形

（2）假设四边形AOCE为平行四边形，

连接EC、EO， 如图，

∵OA=OC，

四边形AOCE是菱形，

∵OE=OA，OF⊥AE，

∴AF=EF，

在Rt△AOF和Rt△ECD中，

∴Rt△AOF≌Rt△ECD，

∴DE=AF，

∴DE=EF，

∴，

即k=1时，四边形AOCE为平行四边形；

故答案为：1；

若四边形AOCE是菱形，则

由于四边形OCDF是矩形，

所以在Rt△EDC中，

∴由于矩形OCDF的面积是

所以所以