Question

14．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．
下列结论：①MC=ND，②$\widehat{AM}$=$\widehat{MN}$=$\widehat{NB}$，③四边形MCDN是正方形，④MN=$\frac{1}{2}$AB，其中正确的结论是①②④（填序号）．

Answer 1

分析 连结OM、ON，如图，易得OC=$\frac{1}{2}$OM=OD=$\frac{1}{2}$ON，利用含30度的直角三角形三边关系得∠OMC=30°，∠OND=30°，所以MC=$\sqrt{3}$OC，ND=$\sqrt{3}$OD，则可对①进行判断；再计算出∠MOC=∠NOD=60°，则∠MON=60°，于是根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形MCDN为平行四边形，加上∠MCO=90°，则可判断四边形MCDN为矩形，由于MC=$\sqrt{3}$OC，
则MC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，于是可对③进行判断；由四边形MCDN为矩形得到MN=CD，则MN=$\frac{1}{2}$AB，则可对④进行判断．

解答 解：连结OM、ON，如图，
∵C、D分别是OA、OB的中点，
∴OC=OD，OC=$\frac{1}{2}$OM，OD=$\frac{1}{2}$ON，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OMC=30°，∠OND=30°，
∴MC=$\sqrt{3}$OC，ND=$\sqrt{3}$OD，
∴MC=ND，所以①正确；
∵∠MOC=∠NOD=60°，
∴∠MON=60°，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{MN}$=$\widehat{NB}$，所以②正确；
∵CM∥ND，MC=ND，
∴四边形MCDN为平行四边形，
而∠MCO=90°，
∴四边形MCDN为矩形，
∵MC=$\sqrt{3}$OC，
∴MC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
∴四边形MCDN不是正方形，所以③错误；
∵四边形MCDN为矩形，
∴MN=CD，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB，所以④正确．
故选①②④．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心角、弧、弦的关系．