Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=

8

cm，AD=3cm，DC=

5

cm，∠B=45°，点P是下底BC边上的一个动点，从B向C以2cm/s的速度运动，到达点C时停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求BC的长；
（2）当t为何值时，四边形APCD是等腰梯形；
（3）当t为何值时，以A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，推出四边形AEFD是矩形，得出AD=EF=3cm，AE=DF，在Rt△AEB中，根据AB=

8

cm，cos45°=

BE

8

，sin45°=

AE

8

，求出BE=2cm，AE=2cm=DF，由勾股定理求出CF，即可求出BC；
（2）求出PF=CE=1cm，求出PC，求出BP，即可求出答案；
（3）分为三种情况：①BP=AB=

8

cm，②AB=AP，③AP=BP，画出图形，结合图形和根据等腰三角形性质和狗狗抵抗力即可求出答案．

解答：解：（1）
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
则AE∥DF，∠AEB=∠DFC=∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF=3cm，AE=DF，
∵在Rt△AEB中，∠B=45°，AB=

8

cm，cos45°=

BE

8

，sin45°=

AE

8

，
∴BE=2cm，AE=2cm=DF，
∵在Rt△DFC中，DC=

5

cm，DF=2cm，由勾股定理得：CF=

( 5 )2-22

=1（cm），
∴BC=BE+EF+CF=2cm+3cm+1cm=6cm；

（2）如图2，
∵四边形APCD是等腰梯形，AD=3cm，由（1）知CF=1，
∴PE=CF=1cm，
∴PC=1cm+3cm+1cm=5cm，
∴BP=6cm-5cm=1cm，
即t=1÷2=0.5（s），
即t=0.5s时，四边形APCD是平行四边形；

（3）分为三种情况：
①BP=AB=

8

cm时，时间t=

8

÷2=

2

（s）；
②AB=AP时，
∵∠B=45°，
∴∠APB=∠B=45°，
∴∠BAP=90°，
由勾股定理得：BP=

( 8 )2+( 8 )2

=4（cm），
时间t=4÷2=2（s）；
③AP=BP时，
∵AP=BP，
∴∠B=∠BAP=45°，
∴∠APB=90°，
由勾股定理得：AP=BP=

8

2

=2（cm），
时间t=2÷2=1（s），
即当时间t为

2

s或2s或1s时，以A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．

点评：题考查了等腰梯形性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，矩形的性质和判定等知识点的综合应用，题目综合性比较强，用了分类讨论思想．