Question

23、已知二次函数y=ax²-4a图象的顶点坐标为（0，4）矩形ABCD在抛物线与x轴围成的图形内，顶点B、C在x轴上，顶点A、D在抛物线上，且A在D点的右侧，
（1）求二次函数的解析式

y=-x²+4

；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长L与自变量x的函数关系；
（3）周长为10的矩形ABCD是否存在？若存在，请求出顶点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用待定系数法求解即可：y=-x²+4?；
（2）根据解析式可表示出AD=2x，AB=-x²+4，所以矩形ABCD的周长L与自变量x的函数关系为l=-2x²+4x+8?（0＜x＜2）；
（3）直接把l=10代入解析式求得x=1，结合实际意义可知存在周长为10的矩形ABCD，且点A的坐标为（1，3）．

解答：解：（1）由题意得-4a=4
∴a=-1
∴二次函数的解析式为?y=-x²+4
（2）设点A（x，y）
∵点A在抛物线y=-x²+4上
∴y=-x²+4则AD=2x，AB=-x²+4
∴L=2（AD+AB）=2（2x-x²+4）=-2x²+4x+8?（0＜x＜2?）?
（3）当L=10时-2x²+4x+8=10x²-2x+1=0
∴x₁=x₂=1
∴当x=1时，y=-1+4=3
∴存在周长为10的矩形ABCD，且点A的坐标为（1，3）．

点评：主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和矩形的性质．一般步骤是先设y=ax²+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a，b，c的值即可得到解析式．解题关键是利用矩形的性质和二次函数有机的结合在一起，利用数形结合的思想解题．