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如图1,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
kx
相交于点A,B.已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).
(1)求实数a,b,k的值;
(2)如图2,过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标(提示:C点的对应点为B).
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分析:(1)根据点A的坐标,易求得k的值,进而可确定双曲线的解析式;可根据双曲线的解析式设出点B的坐标,根据A、B的坐标,可得到直线AB的解析式,进而可得到此直线与y轴交点(设为M)坐标,以OM为底,A、B纵坐标差的绝对值为高,即可表示出△BOA的面积,已知此面积为3,即可求得点B的坐标,从而利用待定系数法求得抛物线的解析式,即可得到a、b、k的值.
(2)易求得B(-2,-2),C(-4,-4),若设抛物线与x轴负半轴的交点为D,那么∠COD=∠BOD=45°,即∠COB=90°,由于两个三角形无法发生直接联系,可用旋转的方法来作辅助线;
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°,此时B1(B点的对应点)位于OC的中点位置上,可延长OA至E1,使得OE=2OA1,那么根据三角形中位线定理即可得到B1A1∥CE,那么E1就是符合条件的点E,A1的坐标易求得,即可得到点E1的坐标;
②参照①的方法,可以OC为对称轴,作△B1OA1的对称图形△B1OA2,然后按照①的思路延长OA2至E2,即可求得点E2的坐标.
解答:解:(1)∵反比例函数经过A(1,4),
∵k=1×4=4,即y=
4
x

设B(m,
4
m
),已知A(1,4),可求得
直线AB:y=-
4
m
x+4+
4
m

∵S△BOA=
1
2
×(4+
4
m
)×(1-m)=3,
∴2m2+3m-2=0,
即m=-2(正值舍去);
∴B(-2,-2).
由于抛物线经过A、B两点,则有:
a+b=4
4a-2b=-2

解得
a=1
b=3

∴y=x2+3x.
故a=1,b=3,k=4.

(2)设抛物线与x轴负半轴的交点为D;
∵直线AC∥x轴,且A(1,4),
∴C(-4,4);
已求得B(-2,-2),则有:
∠COD=∠BOD=45°,即∠BOC=90°;精英家教网
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B1OA1,作AM⊥x轴于M,作A1N⊥x轴于N.
∵A的坐标是(1,4),即AM=4,OM=1,
∵∠AOM+∠NOA1=90°,∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA1
又∵OA=OA1,∠AMO=∠A1NO
∴△AOM≌△OA1N,
∴A1N=OM=1,ON=AM=4
∴A1的坐标是(4,-1),
此时B1是OC的中点,延长OA1至E1,使得OE=2OA1
则△COE1∽△B1OA1∽△BOA;
则E1(8,-2);
②以OC所在直线为对称轴,作△B1OA1的对称图形△B1OA2
延长OA2至E2,使得OE2=2OA2
则△COE2≌△COE1∽△BOA;
易知A2(1,-4),则E2(2,-8);
故存在两个符合条件的E点,且坐标为E1(8,-2),E2(2,-8).
点评:此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定,图形面积的求法,相似三角形的判定等知识.难点在于(2)题的辅助线作法,能够发现∠BOC=90°,并能通过旋转作出相似三角形是解决问题的关键.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知二次函数的图象是经过点A(1,0),B(3,0),E(0,6)三点的一条抛物线.
(1)求这条抛物线的解析式;
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

精英家教网阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=
12
ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点B为抛物线与y轴的交点,求直线AB的解析式;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M,连接PA、PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB
(4)在(2)的条件下,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h、面积为S,请分别写出h和S关于x的函数关系式.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(1)如图1,矩形ABCD,点C与坐标原点O重合,点A在x轴上,点B坐标为(3,
3
),求经过A、B、C三点抛物线的解析式;
(2)如图2,抛物线E:y=-
1
2
x2+bx+c
经过坐标原点O,其顶点在y轴左侧,以O为顶点作矩形OADC,A、C为抛物线E上两点,若AC∥x轴,AD=2CD,则抛物线的解析式是
 

(3)如图3,点A、B、C分别为抛物线F:y=ax2+bx+c(a<0)上的点,点B在对称轴右侧,点D在抛物线外,顺次连接A、B、C、D四点,所成四边形为矩形,且AC∥x轴,AD=2CD,求矩形ABCD的周长(用含a的式子表示).
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,将抛物线y=-
1
2
x2
平移后经过原点O和点A(6,0),平移后的抛物线的顶点为点B,对称轴与抛物线y=-
1
2
x2
相交于点C,则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读材料:
如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点B为抛物线与y轴的交点,求直线AB的解析式;
(3)设点P是抛物线(第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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