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如图,正方形ABCD中,M为AD边上的一点,连接BM,过点C作CN∥BM,交AD的延长线于点N,在CN上截取CE=BC,连接BE交CD于F,
(1)若∠AMB=60°,CE=2
3
,求DF的长度;
(2)求证:BM=DN+CF.
考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质
专题:
分析:(1)由正方形的性质可以得出AD∥BC,再由CN∥BM就可以得出四边形BCNM是平行四边形,就可以得出∠MBC=60°,就有∠BCN=120°,由BC=EC就可以得出∠FBC=30°,勾股定理就可以求出CF的值,从而可以得出结论;
(2)过点C作CG⊥BE交AD于点H,可以得出△BCF≌△CDH,根据全等三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出∠CHN=∠ECG,由四边形MBCN为平行四边形就可以得出结论.
解答:解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA,AD∥BC.
∵CN∥BM,
∴四边形BCNM是平行四边形,
∴BM=CN,∠AMB=∠MBC.
∵∠AMB=60°,
∴∠MBC=60°,
∴∠BCN=120°.
∵BC=CE,
∴∠1=∠2=30°,
∴BF=2CF.
在Rt△BCF中,BC=2
3
,由勾股定理,得
CF=2.
∵CD=2
3

∴DF=2
3
-2.
答:DF=2
3
-2;

(2)过点C作CG⊥BE交AD于点H,
∴∠BGC=∠FGC=90°.
∴∠1=∠4.
在△BCF和△CDH中
∠1=∠4
BC=CD
∠BCD=∠CDH

∴△BCF≌△CDH(ASA),
∴CF=HD.
∵∠CHN=90°-∠4,∠ECG=90°-∠2=90°-∠1=90°-∠4
∴∠CHN=∠ECG,
∴CN=HN
∵四边形MBCN为平行四边形,
∴BM=CN,
∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF.
点评:本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,平行四边形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,解答时证明三角形全等是关键.
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