【题目】解下列方程或方程组:
① 2( x 2) 3(4 x 1) 9(1 x)
②
③
④
【答案】①;②;③;④
【解析】
①先去括号、移项得到2x-12x+9x=9+4-3,然后合并后把x的系数化为1即可;
②先把方程两边乘以12得3(x-1)-12=2(2x+1),然后去括号、移项、合并,再把x的系数化为1;
③先把方程整理为,然后利用加减消元法解方程;
④先把第三个方程分别代入第一个和第二个方程得到关于y和z的二元一次方程组,解二元一次方程组得到y和z的值,然后利用代入法求出x的值.
解:①去括号得2x-4-12x+3=9-9x,
移项得2x-12x+9x=9+4-3,
合并得-x=10,
系数化为1得x=-10;
②去分母得3(x-1)-12=2(2x+1),
去括号得3x-3-12=4x+2,
移项得3x-4x=2+3+12,
合并得-x=17,
系数化为1得x=-17;
③原方程组整理为,
①×3-②得y=18,
把y=0代入①得x=-4,
所以原方程组的解为;
④,
把③代入①得5y+z=12,
把③代入②得6y+5z=22,
解方程组,得,
把y=2代入③得x=8,
所以原方程组的解为.
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【题目】甲、乙两人共同计算一道整式乘法题:(2x+a)(3x+b).甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”,得到的结果为6x2+11x﹣10;乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2﹣9x+10.
(1)求a、b的值.
(2)计算这道乘法题的正确结果.
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【题目】问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或 a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:13+23=32?
如图2,A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33= .(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3= .(直接写出结论即可,不必写出解题过程)
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【题目】如图,D、B、C三点在同一条直线上,∠C=50°,∠FBC=80°.问:∠DBF的平分线BE与AC有怎样的位置关系?并说明理由.
解:BE与AC一定平行.
∵D、B、C三点在同一条直线上,
∴∠DBF+∠FBC=180°( ).
又∵∠FBC=80°(已知).
∴∠DBF= .
又∵BE平分∠DBF(已知).
∴( ).
又∵∠C=50°(已知),
∴∠ =∠ ( ),
∴ ∥ .( )
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【题目】如图,点B、E、C、F在同一直线上,且AB=DE,AC=DF,BE=CF,请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。
解:∵BE=CF ( )
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在ΔABC和ΔDEF中
AB= ( )
=DF( )
BC=
∴ΔABC≌ΔDEF ( )
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【题目】在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移后得△DEF,使点A的对应点为点D,点B的对应点为点E.
(1)画出△DEF;
(2)连接AD、BE,则线段AD与BE的关系是 ;
(3)求△DEF的面积.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】某商场经销一种商品,已知其每件进价为40元。现在每件售价为70元,每星期可卖出500件。该商场通过市场调查发现:若每件涨价1元,则每星期少卖出10件;若每件降价1元,则每星期多卖出m(m为正整数)件。设调查价格后每星期的销售利润为W元。
(1)设该商品每件涨价x(x为正整数)元,
①若x=5,则每星期可卖出____件,每星期的销售利润为_____元;
②当x为何值时,W最大,W的最大值是多少。
(2)设该商品每件降价y(y为正整数)元,
①写出W与Y的函数关系式,并通过计算判断:当m=10时每星期销售利润能否达到(1)中W的最大值;
②若使y=10时,每星期的销售利润W最大,直接写出W的最大值为_____。
(3)若每件降价5元时的每星期销售利润,不低于每件涨价15元时的每星期销售利润,求m的取值范围。
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【题目】如图,以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=25,BC=,求DE的长.
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