如图.直线y=-x+3与x轴.y轴分别相交于点B.C.经过B.C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A.顶点为P.且对称轴是直线x=2．(1)求该抛物线的函数表达式,(2)请问在抛物线上是否存在点Q.使得以点B.C.Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在.请求出点Q的坐标,若不存在.请说明理由,的动直线l交抛物线于M.N两点.试问抛物线上是否存在定点T.使得不过定点T� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求B（3，0），C（0，3），再根据待定系数法可求抛物线的函数表达式；
（2）存在，分三种情况：过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b，过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3，以BC为斜边，进行讨论可求点Q的坐标；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（a，b），过T作PQ∥x轴，过M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，可证△MPT∽△TQN，根据相似三角形的性质可得a（x₁+x₂）-a²-x₁x₂=y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²，再根据x₁，x₂，y₁，y₂是$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$的解，得到x²-（4+k）x-1=0，得到k为任何实数，3-b=0，16-4b-a=0，a²-4a-8b+b²+15=0，解得a=4，b=3，从而求解．

解答解：（1）∵直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，
∴B（3，0），C（0，3），
∵对称轴为直线x=2，
∴设该抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴该抛物线的函数表达式y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）存在，设过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b，
把B（3，0）代入得b=-3，
则直线的解析式为y=x-3，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴Q₁（2，-1），
过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=8}\end{array}\right.$，
∴Q₂（5，8），
以BC为斜边，设β（a，a²-4a+3），则
a²+（a²-4a）²+（a-3）²+（a²-4a+3）²=18，
a³-8a²+20a-15=0，
（a-3）（a²-5a+5）=0，
解得a₁=3，a₂=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
∴Q₃（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$），Q₄（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），
∴存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（a，b），
过T作PQ∥x轴，过M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，
则∠MTN=90°，
则△MPT∽△TQN，
∴$\frac{{x}_{2}-a}{{y}_{1}-b}$=$\frac{{y}_{2}-b}{a-{x}_{1}}$，
a（x₁+x₂）-a²-x₁x₂=y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²，
其中x₁，x₂，y₁，y₂是$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$的解，
∴x²-（4+k）x-1=0，
x₁x₂=-1，
x₁+x₂=k+4，
y₁y₂=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=-k²+4k（k+4）+16，
y₁+y₂=k（k+4）+8，
1+a（k+4）-a²=-k²+4k（k+4）+16-b（k²+4k+8）+b²，
1+ak+4a-a²=-k³+4k²+16k+16-bk²-4bk-8b+b²，
∴（3-b）k²+（16-4b-a）k+a²-4a-8b+b²+15=0，
∵y=kx+b有无数条，
∴k为任何实数，3-b=0，16-4b-a=0，a²-4a-8b+b²+15=0，
解得a=4，b=3，
存在点T（4，3）使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°．

点评本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

练习册系列答案

学与练期末冲刺夺100分系列答案

名校调研系列卷期末小综合系列答案

黄冈状元成才路应用题系列答案

小学毕业升学全真模拟卷内蒙古人民出版社系列答案

全优假期作业本快乐暑假系列答案

世纪夺冠导航总复习系列答案

海淀黄冈暑假作业合肥工业大学出版社系列答案

快乐暑假快乐学中原农民出版社系列答案

全程解读系列答案

天下无题系列丛书绿色假期暑假作业系列答案