Question

【题目】（基础运用）

如图①所示，直线L：y=x+5与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．

（1）点A坐标为 ，S△OAB= ；

（2）如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，①求证：△AOM≌△OBN；②若AM=4，求MN的长；

（思维延伸）直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．

（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第 一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想线段PE与线段PF的数量关系并证明；

（4）如图③，当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE，则动点E在直线 上运动.（直接写出直线的表达式）

Answer 1

【答案】（1）(-5，0)，；（2）①证明见详解，②7；（3）PE=PF，证明见详解；（4）y=-x＋5.

【解析】

（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，从而可以求出△OAB的面积.

（2）①由OA=OB，对顶角相等，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△OBN.

②已知AO和AM，利用勾股定理从而求得OM以及MN.

（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，从而进行求证即可.

（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5m，则可得OK=OB+BK=5m+5，即可得点E(-5m，5m+5)，继而可知动点E在直线y=-x+5上运动．

解：（1）∵直线L：y=x＋5与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，

∴A(-5，0)，B(0，5)，S△OAB=

（2）①∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，

∴∠AMO=∠BNO=90°，∠AOM＋∠OAM=90°，

∵∠AOM＋∠BON=90°，

∴∠OAM=∠BON，

在△AOM与△OBN中，∠OAM=∠BON，∠AMO=∠BNO，OA=OB，

∴△AOM≌△OBN (AAS)，

②由题意得OA=5，AM=4,利用勾股定理求得OM=3，又由①△AOM≌△OBN，可知AM=ON=4,即有MN=OM+ON=3+4=7.

（3）PE=PF.

理由︰如图，作EK⊥y轴于K点，

∵△ABE为等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠ABE=90°，

∴∠EBK＋∠ABO=90°，

∵∠EBK＋∠BEK=90°，

∴∠ABO=∠BEK ,

在△AOB和△BKE中，∠BKE=∠AOB=90°,∠ABO=∠BEK ,AB=BE,

∴△AOB≌△BKE(AAS)，

∴OA=BK，EK=OB，

∵△OBF为等腰直角三角形，

∴OB=BF，EK=BF，

在△EKP和△FBP中，∠EKP=∠PBF=90°,∠KPE=∠BPF,EK=FB,

∴△PBF≌△PKE(AAS)，

∴PE=PF.

（4）如图3，∵A(-5，0)，B(0，5m)，

∴OA=BK=5，EK=OB=5k，

∴OK=OB＋BK=5m＋5，

∴点E(-5m，5m＋5)，

∵动点E在直线y=-x＋5上运动.

故答案为︰y=-x＋5.