Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC=

 

；
（2）若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BPC=

 

；
（3）若∠A=60°，则∠BPC=

 

；
（4）若∠A=100°，则∠BPC=

 

．
（5）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC=

 

．

Answer 1

分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠1+∠A，∠BPC=∠BDC+∠4，即∠BPC=∠A+∠1+∠4，根据三角形的内角和定理可证∠1+∠4=90°-

1

2

∠A．进而求出∠BPC=90°+

1

2

∠A．

解答：解：延长BP交AD于点D，
∵BP、CP平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BDC=∠1+∠A，
∠BPC=∠BDC+∠4，
∴∠BPC=∠A+∠1+∠4，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠1+∠4=90°-

1

2

∠A．
∴∠BPC=∠A+∠1+∠4=90°+

1

2

∠A；
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC=120°；
（2）若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BPC=120°；
（3）若∠A=60°，则∠BPC=120°；
（4）若∠A=100°，则∠BPC=140°．
（5）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC=180°-（∠2+∠3）=180°-

1

2

（∠ABC+

1

2

∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

点评：用到的知识点为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是180°；得到相应规律是：三角形两个内角平分线所夹的钝角等于90°+第三个角的一半．